Eisenstein Irreduzibilitätskriterium/Integritätsbereich/Prim/Fakt/Beweis

Beweis

 Es sei angenommen, dass es eine Zerlegung ${}F=GH$ mit nicht-konstanten Polynomen ${}G,H\in R[X]$ gebe, und sei ${}G=\sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{i}$ und ${}H=\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}$. Dann ist ${}c_{0}=a_{0}b_{0}$ und dies ist ein Vielfaches von ${}p$, aber nicht von ${}p^{2}$. Da ${}p$ prim ist, teilt es einen der Faktoren, sagen wir ${}a_{0}$, aber nicht den anderen. Es ist nicht jeder Koeffizient von ${}G$ ein Vielfaches von ${}p$, da sonst ${}G$ und damit auch ${}F$ ein Vielfaches von ${}p$ wäre, was aber aufgrund der Bedingung an den Leitkoeffizienten ausgeschlossen ist. Es sei ${}r$ der kleinste Index derart, dass ${}a_{r}$ kein Vielfaches von ${}p$ ist. Es ist ${}r\leq \operatorname {grad} \,(G)<\operatorname {grad} \,(F)$, da ${}H$ nicht konstant ist. Wir betrachten den Koeffizienten ${}c_{r}$, für den

${}c_{r}=a_{0}b_{r}+a_{1}b_{r-1}+\cdots +a_{r-1}b_{1}+a_{r}b_{0}\,$

gilt. Hierbei sind ${}c_{r}$ und alle Summanden ${}a_{i}b_{r-i}$, ${}i=0,\ldots ,r-1$, Vielfache von ${}p$. Daher muss auch der letzte Summand ${}a_{r}b_{0}$ ein Vielfaches von ${}p$ sein. Dies ist aber ein Widerspruch, da ${}p\nmid a_{r}$ und ${}p\nmid b_{0}$.

Zur bewiesenen Aussage