Elektrisches Netzwerk/Zugehöriges lineares Gleichungssystem/Einführung/Beispiel

Ein elektrisches Netzwerk (ein Gleichstrom-Netzwerk) besteht aus mehreren miteinander verbundenen Drähten, die in diesem Zusammenhang die Kanten des Netzwerks genannt werden. In jeder Kante ${}K_{j}$ liegt ein bestimmter (vom Material und der Kantenlänge abhängigen) Widerstand ${}R_{j}$ vor. Die Verbindungspunkte ${}P_{n}$, in denen die Kanten zusammenlaufen, nennt man die Knoten des Netzwerks. Wenn an das Netzwerk (bzw. gewisse Kanten davon) eine Spannung angelegt wird, so fließt in jeder Kante ein bestimmter Strom ${}I_{j}$. Es ist sinnvoll, für jede Kante eine Richtung zu fixieren, um die Fließrichtung des Stromes in dieser Kante unterscheiden zu können (wenn der Strom in die entgegengesetze Richtung fließt, so bekommt er ein negatives Vorzeichen). Man spricht von gerichteten Kanten. In einem Knotenpunkt des Netzwerks fließen die Ströme der verschiedenen anliegenden Kanten zusammen, ihre Summe muss ${}0$ ergeben. Entlang einer Kante ${}K_{j}$ kommt es zu einem Spannungsabfall ${}U_{j}$, der durch das Ohmsche Gesetz

${}U_{j}=R_{j}\cdot I_{j}\,$

beschrieben wird.

Unter einer Masche (oder einem Zykel) des Netzwerks versteht man eine geschlossene gerichtete Verbindung von Kanten. Für eine solche Masche ist die Gesamtspannung ${}0$, es sei denn, es wird „von außen“ eine Spannung angelegt.

Wir listen diese Kirchhoffschen Regeln nochmal auf.

1. In jedem Knoten ist die Summe der (ein- und abfließenden) Ströme gleich ${}0$.
2. In jeder Masche ist die Summe der Spannungen gleich ${}0$.
3. Wenn in einer Masche eine Spannung ${}V$ angelegt wird, so ist die Summe der Spannungen gleich ${}V$.

Aus „physikalischen Gründen“ ist zu erwarten, dass bei einer angelegten Spannung in jeder Kante ein wohlbestimmter Strom fließt. In der Tat lässt sich dieser aus den genannten Gesetzmäßigkeiten berechnen, indem man diese in ein lineares Gleichungssystem übersetzt und dieses löst.

In dem durch das Bild angegebenen Beispiel seien die Kanten ${}K_{1},\ldots ,K_{5}$ (mit den Widerständen $R_{1},\ldots ,R_{5}$) von links nach rechts gerichtet, und die Verbindungskante ${}K_{0}$ von ${}A$ nach ${}C$ (an die die Spannung ${}V$ angelegt sei), sei von unten nach oben gerichtet. Die vier Knotenpunkte und die drei Maschen ${}(A,D,B),\,(D,B,C)$ und ${}(A,D,C)$ führen auf das lineare Gleichungssystem (einfließende Ströme gehen negativ und abfließende Ströme positiv ein; für die Maschen wählt man eine „Kreisrichtung“, im Beispiel nehmen wir den Uhrzeigersinn, und führen die gleichorientierten Spannungen positiv an)

${\begin{matrix}I_{0}&+I_{1}&&-I_{3}&&&=&0\\&&&I_{3}&+I_{4}&+I_{5}&=&0\\-I_{0}&&+I_{2}&&-I_{4}&&=&0\\&-I_{1}&-I_{2}&&&-I_{5}&=&0\\&R_{1}I_{1}&&+R_{3}I_{3}&&-R_{5}I_{5}&=&0\\&&-R_{2}I_{2}&&-R_{4}I_{4}&+R_{5}I_{5}&=&0\\&-R_{1}I_{1}&+R_{2}I_{2}&&&&=&-V\,.\end{matrix}}$

Dabei sind die ${}R_{j}$ und ${}V$ vorgegebene Zahlen und die ${}I_{j}$ sind gesucht.