Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und seien ${}a,b\in R$ zwei teilerfremde Elemente. Dann kann man die ${}1$ als Linearkombination von ${}a$ und ${}b$ darstellen, d.h. es gibt Elemente ${}r,s\in R$ mit ${}ra+sb=1$.
2. Es seien ${}R$ und ${}S$ kommutative Ringe und es sei

   $\varphi \colon R\longrightarrow S$

   ein Ringhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung

   $R{\stackrel {q}{\longrightarrow }}R/\operatorname {kern} \varphi {\stackrel {\theta }{\longrightarrow }}\operatorname {bild} \varphi {\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}S,$

   wobei ${}q$ die kanonische Projektion, ${}\theta$ ein Ringisomorphismus und ${}\iota$ die kanonische Inklusion des Bildes ist.
3. Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einer Basis

   $b_{1},\ldots ,b_{n}.$

   Ferner sei

   $u_{1},\ldots ,u_{k}$

   eine Familie von linear unabhängigen Vektoren in ${}V$. Dann gibt es eine Teilmenge ${}J=\{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k}\}\subseteq \{1,\ldots ,n\}=I$ derart, dass die Familie

   $u_{1},\ldots ,u_{k},b_{i},i\in I\setminus J,$

   eine Basis von ${}V$ ist.

Zur gelösten Aufgabe