Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/12/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$ und ${}n$ Elemente ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$ gegeben. Dann gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$ vom Grad ${}\leq n-1$ derart, dass ${}P(a_{i})=b_{i}$ für alle ${}i$ ist.
2. Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
   1. ${}R$ ist faktoriell.
   2. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und diese Zerlegung ist bis auf Umordnung und Assoziiertheit eindeutig.
   3. Jede Nichteinheit ${}f\neq 0$ besitzt eine Faktorzerlegung in irreduzible Elemente, und jedes irreduzible Element ist ein Primelement.
3. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element. Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

Zur gelösten Aufgabe