Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/19/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

   $\varphi \colon G\longrightarrow H$

   ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es eine kanonische Isomorphie

   ${\tilde {\varphi }}\colon G/\operatorname {kern} \varphi \longrightarrow H.$

2. Es sei ${}p$ eine Primzahl und ${}p^{r}$ eine Potenz davon. Dann ist

   ${}{\varphi (p^{r})}=p^{r-1}(p-1)\,.$

3. Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}M$ der algebraische Abschluss von ${}K$ in ${}L$. Dann ist ${}M$ ein Unterkörper von ${}L$.

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