Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/6/Aufgabe/Lösung

1. Für einen Nichtnullteiler ${}f\in R$ folgt aus einer Gleichung

   ${}fx=fy\,,$

   dass ${}x=y$ sein muss.
2. Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl mit kanonischer Primfaktorzerlegung ${}n=p_{1}^{r_{1}}\cdot p_{2}^{r_{2}}{\cdots }p_{k}^{r_{k}}$. Dann induzieren die kanonischen Ringhomomorphismen ${}\mathbb {Z} /(n)\rightarrow \mathbb {Z} /(p_{i}^{r_{i}})$ einen Ringisomorphismus

   ${}\mathbb {Z} /(n)\cong \mathbb {Z} /(p_{1}^{r_{1}})\times \mathbb {Z} /(p_{2}^{r_{2}})\times \cdots \times \mathbb {Z} /(p_{k}^{r_{k}})\,.$

3. Es sei ${}P$ das Minimalpolynom von ${}f$. Dann gibt es eine kanonische ${}K$-Algebraisomorphie

   $K[X]/(P)\longrightarrow K[f],\,X\longmapsto f.$

Zur gelösten Aufgabe