Elementare Algebra/Gemischte Satzabfrage/9/Aufgabe/Lösung

1. Es seien ${}P,T\in K[X]$ zwei Polynome mit ${}T\neq 0$. Dann gibt es eindeutig bestimmte Polynome ${}Q,R\in K[X]$ mit

   $P=TQ+R{\text{ und mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(T){\text{ oder }}R=0.$

2. Der Kern zu einem Ringhomomorphismus ist ein Ideal.
3. Es sei ${}p\in R,\,p\neq 0$. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
   1. ${}p$ ist ein Primelement.
   2. ${}R/(p)$ ist ein Integritätsbereich.
   3. ${}R/(p)$ ist ein Körper.

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