Elementare Mathematik 1/Gemischte Definitionsabfrage/14/Aufgabe/Lösung

1. Die Dedekind-Peano-Axiome beziehen sich auf eine Menge ${}N$ mit einem ausgezeichneten Element ${}0\in N$ und einer Nachfolgerabbildung

   $'\colon N\longrightarrow N,\,n\longmapsto n'$

   und lauten folgendermaßen.

   1. Das Element ${}0$ ist kein Nachfolger.
   2. Jedes ${}n\in N$ ist Nachfolger höchstens eines Elementes.
   3. Für jede Teilmenge ${}T\subseteq N$ gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
      • ${}0\in T$,
      • mit jedem Element ${}n\in T$ ist auch ${}n'\in T$,

   gelten, so ist ${}T=N$.

Die Summe ${}n+k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von ${}n$ ausgehend ${}k$-fach den Nachfolger nimmt.

Die ganzen Zahlen haben die Form ${}\pm a$ und ${}\pm b$ mit natürlichen Zahlen ${}a,b$. Die Multiplikation wird folgendermaßen definiert.

${}a\cdot b:=a\cdot b\,,$

${}a\cdot (-b):=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot b:=-(a\cdot b)\,,$

${}(-a)\cdot (-b):=a\cdot b\,.$

Eine Teilmenge ${}H\subseteq G$ heißt Untergruppe von ${}G$ wenn folgendes gilt.

1. ${}e\in H$.
2. Mit ${}g,h\in H$ ist auch ${}g\circ h\in H$.
3. Mit ${}g\in H$ ist auch ${}g^{-1}\in H$.

Die Abbildung ${}f\colon K\rightarrow K$ heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente ${}x,x'\in K$ mit ${}x<x'$ auch ${}f(x)<f(x')$ gilt.

Eine Folge der Form

${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

mit ${}a_{n}\in \mathbb {Z}$ und

${}{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\leq {\frac {a_{n+1}}{10^{n+1}}}<{\frac {a_{n}+1}{10^{n}}}\,$

heißt Dezimalbruchfolge.

Zur gelösten Aufgabe