Elementare Mathematik 1/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Auf den natürlichen Zahlen gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung

   $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N} ,\,(x,y)\longmapsto x\cdot y,$

   die

   $0\cdot y=0{\text{ für alle }}y\in \mathbb {N} {\text{ und }}x'\cdot y=x\cdot y+y{\text{ für alle }}x,y\in \mathbb {N}$

   erfüllt.
2. Es seien

   ${}m=a_{0}+a_{1}10+a_{2}10^{2}+\cdots +a_{k-1}10^{k-1}\,$

   und

   ${}n=b_{0}+b_{1}10+b_{2}10^{2}+\cdots +b_{\ell -1}10^{\ell -1}\,$

   zwei natürliche Zahlen im Zehnersystem. Dann ist

   ${}m>n\,$

   genau dann, wenn

   ${}k>\ell \,$

   oder wenn ${}k=\ell$ ist und wenn es ein ${}s$, ${}0\leq s<k$, derart gibt, dass

   $a_{k-1}=b_{k-1},\ldots ,a_{s+1}=b_{s+1},a_{s}>b_{s}$

   ist.
3. Es sei

   ${}f(x)=g(x)\,$

   eine Gleichung in der Variablen ${}x$ über einem gegebenen Zahlenbereich ${}M$. Es sei

   $\varphi \colon M\longrightarrow M$

   eine Abbildung. Dann gelten die folgenden Eigenschaften.

   1. Wenn ${}a\in M$ eine Lösung der Gleichung ist, so ist ${}a$ auch eine Lösung der umgeformten Gleichung

      ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,.$

   2. Wenn ${}\varphi$ injektiv ist, so ist ${}a\in M$ genau dann eine Lösung der Gleichung, wenn ${}a$ eine Lösung der umgeformten Gleichung

      ${}\varphi (f(x))=\varphi (g(x))\,$

      ist.

Zur gelösten Aufgabe