Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/11/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{n}$ eine lineare Abbildung mit zugehöriger Matrix ${}M$. Dann ist ${}\varphi$ genau dann bijektiv, wenn ${}M$ invertierbar ist.
2. Das Äquivalenzklassenmodell von ${}\mathbb {Z}$ ist mit der Addition

   ${}[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]\,,$

   der Multiplikation

   ${}[(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]\,,$

   dem Nullelement ${}[(0,0)]$, dem Einselement ${}[(1,0)]$ und der durch

   ${}[(a,b)]\geq [(c,d)]\,,$

   falls

   ${}a+d\geq b+c\,,$

   definierten Ordnung ein angeordneter Ring.
3. Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und

   ${}M=B_{1}\uplus B_{2}\uplus \ldots \uplus B_{n}\,$

   eine Zerlegung in disjunkte Teilmengen, die alle positive Wahrscheinlichkeiten haben mögen. Dann ist für jedes Ereignis ${}A$ mit positiver Wahrscheinlichkeit

   ${}P(B_{k}{|}A)={\frac {P(B_{k})\cdot P(A{|}B_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(B_{i})\cdot P(A{|}B_{i})}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe