Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe, ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe und ${}G/H$ die Quotientenmenge zur durch ${}H$ definierten Äquivalenzrelation auf ${}G$ mit der kanonischen Projektion

   $q\colon G\longrightarrow G/H,\,g\longmapsto [g].$

   Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf ${}G/H$ derart, dass ${}q$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
2. Eine Dezimalbruchfolge

   ${}x_{n}={\frac {a_{n}}{10^{n}}}\,$

   in einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$ ist eine

   Cauchy-Folge.
3. Die Funktionen

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \cos x,$

   und

   $\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto \sin x,$

   besitzen für ${}x\in \mathbb {R}$ folgende Eigenschaften.

   1. Es gilt

      ${}(\cos x)^{2}+(\sin x)^{2}=1\,$

      für alle ${}x\in \mathbb {R}$.

   2. Es ist

      ${}-1\leq \cos x,\sin x\leq 1\,.$

   3. Es ist ${}\cos \left(-x\right)=\cos x$ und ${}\sin \left(-x\right)=-\sin x$.

Zur gelösten Aufgabe