Elementare Mathematik 2/Gemischte Satzabfrage/7/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}K$ ein Körper und sei

   $\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

   eine lineare Abbildung. Dann ist ${}\varphi$ genau dann injektiv, wenn ${}\operatorname {kern} \varphi =0$

   ist.
2. Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Cauchy-Folge in ${}K$. Dann gibt es die drei folgenden Alternativen.
   1. Die Folge ist eine Nullfolge.
   2. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

      ${}x_{n}\geq \delta \,$

      für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

   3. Es gibt eine positive Zahl ${}\delta$ derart, dass ab einem gewissen ${}n_{0}$ die Abschätzung

      ${}x_{n}\leq -\delta \,$

      für alle ${}n\geq n_{0}$ gilt.

3. Es sei ${}b\neq 1$ eine positive reelle Zahl. Dann ist die Exponentialfunktion

   $f\colon (\mathbb {R} ,+,0)\longrightarrow (\mathbb {R} _{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto b^{x},$

   ein bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe