Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 52 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die Folge der
\stichwort {euklidischen Reste} {}
zu Elementen
\mathl{a,b \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Bereich}{}{.}
}{Ein \stichwort {faktorieller Bereich} {} $R$.
}{Eine
\stichwort {primitive} {}
Einheit in
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{.}
}{Ein \stichwort {Primideal} {} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Der \stichwort {Hauptdivisor} {} zu einem Element \mathkor {} {f \in R} {} {f \neq 0} {,} in einem Zahlbereich $R$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte
\mathl{i \cdot j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ 9
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{8 (1+2+3+2)}
{
Wir betrachten eine
\zusatzklammer {einfachere, aber langsamere} {} {}
Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{.}
Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ersetzte das Paar
\mathl{(a,b)}{} durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis $a$ ausgegeben.
\aufzaehlungvier{Führe diesen Algorithmus für das Paar
\mathl{(7,3)}{} durch.
}{Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
}{Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
}{Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante $n$ Schritte benötigt.
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass es in jedem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele \definitionsverweis {Primideale}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme ein Element aus
\mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{0}
{
}
{} {}