Elementare und algebraische Zahlentheorie/10/Klausur mit Lösungen/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 1 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 4 }
\renewcommand{\asechs}{ 8 }
\renewcommand{\asieben}{ 6 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 0 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 5 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 0 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 52 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesechzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{K}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Definiere die folgenden
\zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe.
\aufzaehlungsechs{Ein
\stichwort {Ideal} {}
\mathl{{\mathfrak a} \subseteq R}{} in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$.
}{Die Folge der
\stichwort {euklidischen Reste} {}
zu Elementen
\mathl{a,b \in R}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Bereich}{}{.}
}{Ein \stichwort {faktorieller Bereich} {} $R$.
}{Eine
\stichwort {primitive} {}
Einheit in
\mathl{{ \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{.}
}{Ein \stichwort {Primideal} {} ${\mathfrak p}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$.
}{Der \stichwort {Hauptdivisor} {} zu einem Element \mathkor {} {f \in R} {} {f \neq 0} {,} in einem Zahlbereich $R$. }
}
{
\aufzaehlungsechs{Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${\mathfrak a} \subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungzwei {Für alle
\mathl{a,b \in {\mathfrak a}}{} ist auch
\mathl{a+b \in {\mathfrak a}}{.}
} {Für alle
\mathl{a \in {\mathfrak a}}{} und
\mathl{r \in R}{} ist auch
\mathl{ra \in {\mathfrak a}}{.}}
}{Man nennt die durch die Anfangsbedingungen
\mathl{r_0= a}{} und
\mathl{r_1= b}{} und die mittels der Division mit Rest
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ r_{i}
}
{ =} {q_i r_{i+1} + r_{i+2}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste.
}{Ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {Jedes
\definitionsverweis {irreduzible Element}{}{}
in $R$ ist
\definitionsverweis {prim}{}{.}
} {Jedes Element
\mathbed {a \in R} {}
{a \neq 0} {}
{} {} {} {,}
ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
}
}{Eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
\mathl{u \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} heißt primitiv, wenn sie die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
erzeugt.
}{Ein Primideal ist ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{,}
wenn
\mathl{{\mathfrak p} \neq R}{} ist und wenn für
\mathl{r,s \in R}{} mit
\mathl{r \cdot s \in {\mathfrak p}}{} folgt:
\mathl{r \in {\mathfrak p}}{} oder
\mathl{s \in {\mathfrak p}}{.}
}{Der durch $f$ definierte Hauptdivisor ist
die Abbildung, die jedem
\definitionsverweis {Primideal}{}{}
\mathl{{\mathfrak p} \neq 0}{} in $R$ die Ordnung
\mathl{\operatorname{ord}_{\mathfrak p} (f)}{} zuordnet.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der \stichwort {kleine Fermat} {.}}{Der Satz über die Darstellbarkeit einer natürlichen Zahl als Summe von zwei Quadraten.}{Der Satz über die Diskriminante quadratischer Zahlbereiche.}
}
{
\aufzaehlungdrei{Für eine Primzahl $p$ und eine beliebige ganze Zahl $a$ gilt
\mathdisp {a^p\equiv a\mod p} { . }
}{Es sei $n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{r^2 m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei jeder Primfaktor von $m$ nur einfach vorkomme. Dann ist $n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von $m$ nur $2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo $4$ den Rest $1$ haben.}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratfreie Zahl}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann ist die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
von $A_D$ gleich
\mathdisp {\triangle = 4D , \text{ wenn } D= 2,3 \mod 4} { }
und
\mathdisp {\triangle =D, \text{ wenn } D= 1 \mod 4} { . }
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{1}
{
Finde zwei natürliche Zahlen, deren Summe
\mathl{65}{} und deren Produkt $1000$ ist.
}
{
Die Primfaktorzerlegung von
\mathl{1000}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1000
}
{ =} {2^3 \cdot 5^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die beiden gesuchten Zahlen müssen also Teiler davon sein, also von der Form
\mathl{2^i 5^j}{} mit
\mathl{i,j \leq 3}{.} Da die Summe ungerade ist, besitzt die eine Zahl die Form
\mathdisp {8 \cdot 5^j} { . }
Dies führt auf die
\mathkor {} {40} {und} {25} {.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte
\mathl{i \cdot j}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ \leq }{ i,j
}
{ \leq }{ 9
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
stehen. Bestimme die
\definitionsverweis {Primfaktorzerlegung}{}{}
des Produktes über alle Einträge in der Tabelle.
}
{
Es sei $n$ das Produkt aller Zahlen im kleinen Einmaleins. Als Primfaktoren kommen nur
\mathl{2,3,5,7}{} in Frage. Jede Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \leq }{ 9
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird mit jeder der neun einstelligen Zahl sowohl von links als auch von rechts multipliziert und dadurch tritt die Primfaktorzerlegung von $i$ in der $18$-ten Potenz auf. Somit ergibt sich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{n
}
{ =} { 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 4^{18} \cdot 5^{18} \cdot 6^{18} \cdot 7^{18} \cdot 8^{18} \cdot 9^{18}
}
{ =} { 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 2^{36} \cdot 5^{18} \cdot 2^{18} \cdot 3^{18} \cdot 7^{18} \cdot 2^{54} \cdot 3^{36}
}
{ =} { 2^{126} \cdot 3^{72} \cdot 5^{18} \cdot 7^{18}
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Beweise das \stichwort {Lemma von Euklid} {} für einen Hauptidealbereich.
}
{
Da
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
teilerfremd sind, gibt es nach
dem Lemma von Bezout
Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ ra+sb
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Voraussetzung, dass $a$ das Produkt $bc$ teilt, schreiben wir als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{bc
}
{ = }{da
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Damit gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c
}
{ =} {c1
}
{ =} {c(ra+sb)
}
{ =} {cra +csb
}
{ =} {acr +ads
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ =} {a(cr+ds)
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}{}{,}
was zeigt, dass $c$ ein Vielfaches von $a$ ist.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{8 (1+2+3+2)}
{
Wir betrachten eine
\zusatzklammer {einfachere, aber langsamere} {} {}
Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen
\mathl{a,b}{.}
Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \neq }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ersetzte das Paar
\mathl{(a,b)}{} durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis $a$ ausgegeben.
\aufzaehlungvier{Führe diesen Algorithmus für das Paar
\mathl{(7,3)}{} durch.
}{Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
}{Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
}{Man gebe für jedes $n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante $n$ Schritte benötigt.
}
}
{
\aufzaehlungvier{Der Algorithmus ersetzt sukzessive
\mathdisp {(7,3) \mapsto (4,3) \mapsto (3,1) \mapsto (2,1) \mapsto (1,1)} { , }
der größte gemeinsame Teiler ist also $1$.
}{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so hört der Algorithmus auf. Wenn genau eine Zahl $0$ ist, so ist das Folgepaar
\mathl{(c,c)}{} und dann hört der Algorithmus auf. Es sei also ohne Einschränkung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ >} {b
}
{ >} {0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Folgepaar ist dann
\mathl{(a-b,b)}{} und beide Zahlen sind kleiner als $a$. D.h. unter dieser Voraussetzung wird das Maximum mit jedem Rechenschritt kleiner. Da sich alles innerhalb der natürlichen Zahlen abspielt, bricht das Verfahren irgendwann ab.
}{Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist diese Zahl auch der größte gemeinsame Teiler. Wir zeigen, dass sich bei jedem Rekursionsschritt, bei dem
\mathl{(a,b)}{}
\zusatzklammer {es sei wieder \mathlk{a \geq b}{}} {} {}
durch
\mathl{(a-b,b)}{} ersetzt wird, der größte gemeinsame Teiler der beiden Paare übereinstimmt. Dazu muss man nur zeigen, dass
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
einerseits und
\mathkor {} {a-b} {und} {b} {}
andererseits die gleichen gemeinsamen Teiler haben. Es sei also
\mathl{t \in \N}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{tm
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{tn
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a-b
}
{ =} {mt-nt
}
{ =} { (m-n) t
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein Vielfaches von $t$. Wenn umgekehrt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b
}
{ = }{rt
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ = }{st
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {a-b+b
}
{ =} {rt +st
}
{ =} {(r+s)t
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ebenfalls ein Vielfaches von $t$.
}{Wir betrachten das Paar
\mathl{(n,1)}{.} Der euklidische Algorithmus liefert
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {n \cdot 1 +0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und ist fertig. Die Variante ersetzt
\mathl{(n,1)}{} durch
\mathl{(n-1,1)}{,} sie braucht also $n-1$ Schritte, um die Abbruchbedingung
\mathl{(1,1)}{} zu erreichen.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{6 (1+1+2+2)}
{
In dieser Aufgabe geht es um den Restklassenring $\Z/(360)$.
a) Schreibe $\Z/(360)$ als Produktring
\zusatzklammer {im Sinne des chinesischen Restsatzes} {} {.}
b) Wie viele Einheiten besitzt $\Z/(360)$?
c) Schreibe das Element $239$ in komponentenweiser Darstellung. Begründe, warum es sich um eine Einheit handelt und finde das Inverse in komponentenweiser Darstellung.
d) Berechne die Ordnung von $239$ in $\Z/(360)$.
}
{
a) Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{360
}
{ =} { 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(360)
}
{ =} { \Z/(8) \times \Z/(9) \times \Z/(5)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b) Nach der Formel für die eulersche $\varphi$-Funktion ist die Anzahl der Einheiten gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(360)
}
{ =} { 4 \cdot 6 \cdot 4
}
{ =} { 96
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
c) Die Reste von
\mathl{239}{} modulo
\mathl{8,9}{} und $5$ sind
\mathdisp {( 7 ,5 , 4)} { . }
Da jede Komponente teilerfremd zu den zugehörigen Modulozahlen sind, handelt sich es sich insgesamt um eine Einheit. Das Inverse ist
\mathdisp {(7, 2 ,4 )} { . }
d) Zur Berechnung der Ordnung von
\mathl{239}{} modulo $360$ schreiben wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( 7 ,5 , 4)
}
{ =} { ( -1 ,5 ,-1)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Ordnung in der ersten und der dritten Komponente ist $2$, die Ordnung in der zweiten Komponente ist wegen
\mathl{5^2=7}{,}
\mathl{5^3=35=-1}{} gleich $6$, da ja
\mathl{\Z/(9) ^{\times}}{} die Ordnung $6$ besitzt. Daher ist die Ordnung von $239$ gleich $6$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Man gebe ein Beispiel an, wo das Jacobi-Symbol den Wert $1$ hat, aber kein Quadratrest vorliegt.
}
{
Betrachte in
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Z/(15)
}
{ \cong} { \Z/(5) \times \Z/(3)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das Element $2$. Die $2$ ist weder modulo $3$ noch modulo $5$ ein Quadratrest, also erst recht nicht modulo $15$. Andererseits ist aber nach Definition
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left(\frac{2}{15}\right)
}
{ =} {\left(\frac{2}{3}\right) \left(\frac{2}{5}\right)
}
{ =} { (-1) (-1)
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}
\inputaufgabepunkteloesung
{2}
{
Zeige, dass ein \definitionsverweis {Ideal}{}{} ${\mathfrak a}$ in einem \definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ genau dann ein \definitionsverweis {Radikal}{}{} ist, wenn der \definitionsverweis {Restklassenring}{}{} $R/ {\mathfrak a}$ \definitionsverweis {reduziert}{}{} ist.
}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein Radikal und
\mathl{f \in R/ {\mathfrak a}}{}
\definitionsverweis {nilpotent}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^r
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in
\mathl{R/ {\mathfrak a}}{.} Zurückübersetzt nach $R$ bedeutet dies
\mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{.} Da ein Radikal vorliegt, ist
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{} und damit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Restklassenring. Also ist dieser reduziert.
Es sei umgekehrt ein Ideal
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{{\mathfrak a}
}
{ \subseteq} { R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit reduziertem Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ gegeben. Es sei
\mathl{f^r \in {\mathfrak a}}{.} Dann ist die Restklasse von $f^r$ gleich $0$. Wegen der Reduziertheit ist bereits
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dies bedeutet
\mathl{f \in {\mathfrak a}}{,} also ist das Ideal ein Radikal.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5}
{
Beweise, dass ein faktorieller Integritätsbereich normal ist.
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das die
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ q^n+ r_{n-1}q^{n-1} + r_{n-2}q^{n-2} + \cdots + r_1q +r_0
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r_i
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Wir schreiben
\mathbed {q= a/b} {mit}
{a,b \in R} {}
{b \neq 0} {} {} {,}
wobei wir annehmen können, dass die Darstellung gekürzt ist, dass also
\mathkor {} {a} {und} {b \in R} {}
keinen gemeinsamen Primteiler besitzen. Wir haben zu zeigen, dass $b$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$ ist, da dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{ a b^{-1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu $R$ gehört.
Wir multiplizieren die obige Ganzheitsgleichung mit $b^n$ und erhalten in $R$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a^n+ { \left( r_{n-1}b \right) } a^{n-1} + { \left( r_{n-2}b^2 \right) } a^{n-2} + \cdots + { \left( r_1b^{n-1} \right) } a + { \left( r_0 b^n \right) }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn $b$ keine Einheit ist, dann gibt es einen Primteiler $p$ von $b$. Dieser teilt alle Summanden
\mathbed {{ \left( r_{n-i}b^{i} \right) } a^{n-i}} {für}
{i \geq 1} {}
{} {} {} {}
und daher auch den ersten, also $a^n$. Das bedeutet aber, dass $a$ selbst ein Vielfaches von $p$ ist im Widerspruch zur vorausgesetzten Teilerfremdheit.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Zeige, dass es in jedem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} \definitionsverweis {abzählbar unendlich}{}{} viele \definitionsverweis {Primideale}{}{} gibt.
}
{
Die Aussage ist für $\Z$ richtig. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Zahlbereich. Zu jeder Primzahl $p$ ist
\mathl{R/pR}{} ein
Fakt
endlicher Ring $\neq 0$ und besitzt somit endlich viele
\zusatzklammer {und mindestens eins} {} {}
Primideale. Diese Primideale entsprechen den Primidealen von $R$ oberhalb von
\mathl{pR}{,} und jedes von $0$ verschiedene Primideal wird dadurch erfasst. Also ist die Menge der Primideale eine abzählbar unendliche Vereinigung von endlichen
\zusatzklammer {nichtleeren} {} {}
Mengen und damit abzählbar unendlich.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{3}
{
Bestimme ein Element aus
\mathl{\Z [\sqrt{-11}]}{,} das unter allen Nichteinheiten minimale Norm besitzt. Begründe, dass dieses Element irreduzibel ist.
}
{
Die Elemente in
\mathl{\Z[\sqrt{-11}]}{} haben die Form
\mathdisp {z=a+ b \sqrt{-11}} { }
mit
\mathl{a,b \in \Z}{.} Die Norm davon ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{N(z)
}
{ =} { a^2 + 11 b^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei $b \geq 1$ ergibt sich zumindest
\mathl{N(z) \geq 11}{.} Bei
\mathl{b =0}{} und
\mathl{a=\pm 2}{} ergibt sich die Norm $4$. Bei
\mathl{b=0}{} und
\mathl{a=\pm 1}{} liegt eine Einheit vor, sodass
\mathl{(\pm 2, 0)}{} die Nichteinheiten mit minimaler Norm sind. Ein solches Element $z$ ist irreduzibel, da aus
\mathl{z=uv}{} folgt
\mathl{4=N(u)N(v)}{.} Da es aber kein Element mit Norm $\pm 2$ gibt, muss
\mathl{u}{} oder
\mathl{v}{} die Norm $\pm 1$ haben, also eine Einheit sein.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{4}
{
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {Integritätsbereiche}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Ringerweiterung}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.
}
{
Es sei
\mathl{s \in S}{} das Inverse von $f$, also
\mathl{fs=1}{.} Da $S$ ganz über $R$ ist, gibt es eine Ganzheitsgleichung für
$s$, sagen wir
\mathdisp {s^n +a_{n-1}s^{n-1} + \cdots + a_1s + a_0 =0} { }
mit
\mathl{a_i\in R}{.} Wir multiplizieren diese Gleichung mit $f^n$ und erhalten
\mathdisp {(fs)^n +a_{n-1}f (fs)^{n-1} + \cdots + a_1 f^{n-1}(fs) + a_0 f^n =0} { }
bzw.
\mathdisp {1 +a_{n-1}f + \cdots + a_1 f^{n-1} + a_0 f^n =0} { . }
Ausklammern von $f$ ergibt
\mathdisp {1 + f( a_{n-1} + \cdots + a_1 f^{n-2} + a_0 f^{n-1}) =0} { }
und damit
\mathdisp {f( - a_{n-1} - \cdots - a_1 f^{n-2} - a_0 f^{n-1}) = 1} { , }
wobei der Ausdruck in der Klammer zu $R$ gehört. Also besitzt $f$ auch ein Inverses in $R$.
}
\inputaufgabepunkteloesung
{5 (2+3)}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen.
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass die Polynomfunktionen
\maabbeledisp {\varphi_d} {K} {K
} {x} { x^d
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ d
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
sind.
} {Zeige, dass die Exponentialfunktionen
\maabbeledisp {\psi_b} {K} {K
} {x} { b^x
} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \leq }{ b
}
{ < }{q
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
linear unabhängig sind.
}
}
{
\aufzaehlungzwei {Nach
dem Interpolationssatz
kann man jede Abbildung
\maabbdisp {f} {K} {K
} {}
eindeutig als ein Polynom vom Grad
\mathl{< q}{} schreiben. Wegen der Eindeutigkeit sind die Potenzfunktionen
\mathl{x \mapsto x^d}{} linear unabhängig.
} {Wir betrachten die
\mathl{q \times q}{-}Matrix
\mathdisp {(b^d)_{0 \leq b,d \leq q-1}} { . }
In der $d$-ten Spalte stehen alle Werte
\zusatzklammer {eine vollständige Wertetabelle} {} {}
von $x^d$
\zusatzklammer {an den Stellen $b$} {} {.}
Diese Tupel sind nach Teil (1) linear unabhängig. In der $b$-ten Zeile stehen alle Werte der Exponentialfunktion zur Basis $b$
\zusatzklammer {an den Stellen $d$} {} {.}
Nach
Fakt
sind mit den Spalten auch die Zeilen linear unabhängig. Somit sind die Exponentialfunktionen linear unabhängig.
}
}
\inputaufgabepunkteloesung
{0}
{
}
{/Aufgabe/Lösung
}