Elementare und algebraische Zahlentheorie/15/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 5 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 2 }
\renewcommand{\aneun}{ 5 }
\renewcommand{\azehn}{ 7 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 3 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 1 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 55 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Einheit} {} $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
}{Eine \stichwort {multiplikative} {} \definitionsverweis {zahlentheoretische Funktion}{}{.}
}{Die \stichwort {Normalisierung} {} eines Integritätsbereiches $R$.
}{Die \stichwort {Diskriminante} {} eines Zahlbereichs $R$.
}{Ein \stichwort {gebrochenes Ideal} {} ${\mathfrak f}$ zu einem \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{.}
}{Die \stichwort {Darstellbarkeit} {} einer ganzen Zahl $n$ durch eine binäre quadratische Form. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Restklassenringe (Z)/Quadratreste/Anzahl/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Primzahlverteilung/Ungleichungen von Tschebyschow/Fakt/Name}{Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Ideal und konjugiertes Ideal/Produktbeschreibung/Fakt/Name}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestätige die folgende Identität.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^7 + 17^3
}
{ =} { 71^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme in $\Z$ mit Hilfe des euklidischen Algorithmus den \definitionsverweis {größten gemeinsamen Teiler}{}{} von $71894$ und $45327$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die kleinste natürliche Zahl
\mathl{\geq 2}{,} die nicht
\definitionsverweis {prim}{}{}
ist und die außer $1$ keinen Teiler kleiner als $10$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (1+1+1+2)}
{
a) Bestimme die kanonische Produktzerlegung des
\definitionsverweis {Restklassenringes}{}{}
\mathl{\Z/(180)}{.}
b) Bestimme die Anzahl der Einheiten in
\mathl{\Z/(180)}{.}
c) Berechne das Bild von $77$ in der kanonischen Zerlegung. Begründe, dass $77$ eine Einheit in
\mathl{\Z/(180)}{} ist.
d) Bestimme die multiplikative Ordnung von $77$ in
\mathl{\Z/(180)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1+2+3
}
{ = }{1 \cdot 2 \cdot 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Gibt es neben der $1$ weitere natürliche
\zusatzklammer {ganze, reelle, komplexe} {} {}
Zahlen $x$, die die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x+ (x+1) +(x+2)
}
{ =} {x \cdot (x+1) \cdot (x+2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen prim und irreduzibel in einem Integritätsbereich $R$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5 (1+2+1+1)}
{
Es sei $n$ eine natürliche Zahl $\geq 2$. Unter einer Teilerkette von $n$ verstehen wir eine Folge
\mathl{n_1,n_2 , \ldots , n_k}{} von Teilern von $n$, wobei stets $n_i$ die folgende Zahl $n_{i+1}$ teilt, aber nicht mit dieser übereinstimmt.
a) Finde eine Teilerkette von $20$, in der genau vier Zahlen stehen.
b) Charakterisiere, in Abhängigkeit von der Primfaktorzerlegung von $n$, wie lange die maximalen Teilerketten sind.
c) Für welche natürliche Zahlen gibt es nur eine Teilerkette maximaler Länge?
d) Wie viele Teilerketten maximaler Länge besitzt $100$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{7 (2+1+2+2)}
{
Zeige, dass für natürliche Zahlen $a,b,g$ folgende Aussagen gelten.
\aufzaehlungvier{Für teilerfremde $a,b$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kgV} \, (a,b)
}
{ =} { ab
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es gibt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ \in }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mathdisp {a= c \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b) \text{ und } b= d \cdot \operatorname{ggT} \, (a,b)} { , }
wobei $c,d$ teilerfremd sind.
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kgV} \, (ga,gb)
}
{ =} { g\cdot \operatorname{kgV} \, (a,b)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ggT} \, (a,b) \cdot \operatorname{kgV} \,(a,b)
}
{ =} { ab
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 2 }{ n } }
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ a } } + { \frac{ 1 }{ b } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\N$ auch Lösungen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \neq }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es sei $p$ eine Primzahl und sei
\mathl{f(x)}{} ein Polynom mit Koeffizienten in
\mathl{\Z/(p)}{} vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \geq }{ p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass es ein Polynom $g(x)$ mit einem Grad $< p$ derart gibt, dass für alle Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ \Z/(p)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Gleichheit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(a)
}
{ =} { g(a)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3 (1+1+1)}
{
Wie viele Quadrate und wie viele primitive Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{?}
Wie viele Elemente besitzt
\mathl{\Z/(31)}{,} die weder primitiv noch ein Quadrat sind?
Es sei $x$ ein primitives Element von
\mathl{\Z/(31)}{.} Liste explizit alle Elemente $x^{i}$ auf, die weder primitiv noch ein Quadrat sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{1}
{
Bestimme, ob die reelle Zahl
\mathdisp {\sqrt{1000000000000000000000000000}} { }
rational ist oder nicht.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass das Produkt von $n$ aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen von $n!$ geteilt wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zeige, dass das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^4-2
}
{ \in} { \Z/(3) [X]
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (1+1+2)}
{
a) Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { \Z/(7) [T]/(T^3-2)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Körper mit $343$ Elementen gegeben ist.
b) Berechne in $K$ das Produkt $(T^2+2T+4)(2T^2+5)$.
c) Berechne das (multiplikativ) Inverse zu $T+1$.
}
{} {}