Elementare und algebraische Zahlentheorie/7/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	3	3	3	3	4	4	6	4	0	0	0	6	0	44

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein irreduzibles Element ${}p$ in einen kommutativen Ring ${}R$.
2. Ein Hauptideal in einem kommutativen Ring ${}R$.
3. Die erste Tschebyschow-Funktion.
4. Eine algebraische Zahl ${}z\in {\mathbb {C} }$.
5. Ein ganzes Element ${}x\in S$ bei einer Ringerweiterung ${}R\subseteq S$.
6. Das gebrochene Ideal zu einem Divisor ${}D$ in einem Zahlbereich ${}R$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das quadratische Reziprozitätsgesetz für ungerade Primzahlen.
2. Der Satz über das Transformationsverhalten der Diskriminante zu einer Basis in einer endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L$.
3. Der Satz über die Korrespondenz von Idealen und Divisoren für Zahlbereiche.

Aufgabe * (2 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine natürliche Zahl, die man als Summe von vier Quadraten darstellen kann, aber nicht als Summe von drei Quadraten.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

Es seien ${}a,b$ positive natürliche Zahlen. Die Summe der Stammbrüche ist dann

${}{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}={\frac {b+a}{ab}}\,.$

a) Zeige, dass bei ${}a,b$ teilerfremd diese Darstellung gekürzt ist.

b) Zeige, dass im Allgemeinen diese Darstellung nicht gekürzt sein muss.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl. Zeige, dass die Zahl

$n(n+1)(n+2)(n+3)$

durch ${}8$ teilbar ist.

Aufgabe * (3 (1.5+1.5) Punkte)

a) Bestimme für die Zahlen ${}3$, ${}5$ und ${}7$ modulare Basislösungen, finde also die kleinsten positiven Zahlen, die in

$\mathbb {Z} /(3)\times \mathbb {Z} /(5)\times \mathbb {Z} /(7)$

die Restetupel ${}(1,0,0),\,(0,1,0)$ und ${}(0,0,1)$ repräsentieren.

b) Finde mit den Basislösungen die kleinste positive Lösung ${}x$ der simultanen Kongruenzen

$x=2\!\!\mod 3,\,\,\,\,x=4\!\!\mod 5{\text{ und }}x=3\!\!\mod 7.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz, dass für einen endlichen Körper ${}K$ das Produkt aller von ${}0$ verschiedener Elemente aus ${}K$ gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {3}}]$:

${}{\begin{pmatrix}2+{\sqrt {3}}&-{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}&-2-3{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-{\sqrt {3}}\\4-2{\sqrt {3}}\end{pmatrix}}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde die kleinste Zahl ${}n\geq 100$ derart, dass zugleich das reguläre ${}n$-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist und dass ${}n$ eine Summe von zwei Quadraten ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei

${}\mathbb {Q} \subseteq L=\mathbb {Q} [{\sqrt {D}}]\,$

eine quadratische Körpererweiterung und es sei

$\varphi \colon L\longrightarrow L$

eine ${}\mathbb {Q}$-lineare Abbildung, die die Norm erhält. Zeige, dass ${}\varphi$ die Multiplikation mit einem Element aus ${}L$ oder aber die Hintereinanderschaltung der Konjugation mit einer solchen Multiplikation ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige, dass ein diskreter Bewertungsring mit der Ordnungsfunktion ein euklidischer Bereich ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung der Faktorialität eines Zahlbereiches mit Hilfe der Divisorenklassengruppe

Aufgabe (0 Punkte)