Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
2. Man nennt die durch die Anfangsbedingungen ${}r_{0}=a$ und ${}r_{1}=b$ und die mittels der Division mit Rest

   ${}r_{i}=q_{i}r_{i+1}+r_{i+2}\,$

   rekursiv bestimmte Folge ${}r_{i}$ die Folge der euklidischen Reste.

3. Ein Integritätsbereich heißt faktorieller Bereich, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
   1. Jedes irreduzible Element in ${}R$ ist prim.
   2. Jedes Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist ein Produkt aus irreduziblen Elementen.
4. Eine Einheit ${}u\in {\left(\mathbb {Z} /(n)\right)}^{\times }$ heißt primitiv, wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.
5. Ein Primideal ist ein Ideal, wenn ${}{\mathfrak {p}}\neq R$ ist und wenn für ${}r,s\in R$ mit ${}r\cdot s\in {\mathfrak {p}}$ folgt: ${}r\in {\mathfrak {p}}$ oder ${}s\in {\mathfrak {p}}$.
6. Der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor ist die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}\neq 0$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet.

Zur gelösten Aufgabe