Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Definitionsabfrage/16/Aufgabe/Lösung

1. Ein euklidischer Bereich ist ein Integritätsbereich ${}R$, für den eine Abbildung ${}\delta :R\setminus \{0\}\to \mathbb {N}$ existiert, die die folgende Eigenschaft erfüllt: Für Elemente ${}a,b$ mit ${}b\neq 0$ gibt es ${}q,r\in R$ mit

   $a=qb+r{\text{ und }}r=0{\text{ oder }}\delta (r)<\delta (b).$

2. Ein Ideal ist eine nichtleere Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}\subseteq R$, für die die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:
   1. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
   2. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für eine ungerade Primzahl ${}p$ und eine zu ${}p$ teilerfremde Zahl ${}k\in \mathbb {Z}$ definiert man das Legendre-Symbol durch

   $\left({\frac {k}{p}}\right):={\begin{cases}1,{\text{ falls }}k{\text{ quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}},\\-1,{\text{ falls }}k{\text{ kein quadratischer Rest modulo }}p{\text{ ist}}.\end{cases}}\,$

4. Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

   ${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

   definiert.

5. Eine Primzahl der Form ${}2^{n}-1$ heißt Mersennesche Primzahl.
6. Eine Sophie-Germain-Primzahl ist eine Primzahl ${}p$ mit der Eigenschaft, dass auch ${}2p+1$ eine Primzahl ist.

Zur gelösten Aufgabe