Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

   $a^{p}\equiv a\mod p.$

2. Es sei ${}n$ eine positive natürliche Zahl. Wir schreiben ${}n=r^{2}m$, wobei jeder Primfaktor von ${}m$ nur einfach vorkomme. Dann ist ${}n$ die Summe von zwei Quadraten genau dann, wenn in der Primfaktorzerlegung von ${}m$ nur ${}2$ und Primzahlen vorkommen, die modulo ${}4$ den Rest ${}1$ haben.
3. Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich. Dann ist die Diskriminante von ${}A_{D}$ gleich

   $\triangle =4D,{\text{ wenn }}D=2,3\mod 4$

   und

   $\triangle =D,{\text{ wenn }}D=1\mod 4.$

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