Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/15/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}p$ eine ungerade Primzahl. Dann gibt es ${}{\frac {p+1}{2}}$ quadratische Reste modulo ${}p$ und ${}{\frac {p-1}{2}}$ nichtquadratische Reste modulo ${}p$.
2. Es gibt Konstanten ${}C>c>0$ derart, dass die Primzahlfunktion ${}\pi (x)$ für alle ${}x$ den Abschätzungen

   ${}c{\frac {x}{\ln(x)}}\leq \pi (x)\leq C{\frac {x}{\ln(x)}}\,$

   genügt.
3. Es sei ${}A_{D}$ ein quadratischer Zahlbereich und sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}A_{D}$. Dann gilt

   ${}{\mathfrak {a}}{\overline {\mathfrak {a}}}=(N({\mathfrak {a}}))\,.$

Zur gelösten Aufgabe