Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}p$ eine Primzahl. Dann gelten folgende Aussagen. Für ${}p=2$ ist ${}-1=1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(2)$. Für ${}p=1\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ ein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$. Für ${}p=3\!\!\!\!\mod 4$ ist ${}-1$ kein Quadrat in ${}\mathbb {Z} /(p)$.
2. Es sei ${}n$ eine natürliche Zahl und ${}a$ eine zu ${}n$ teilerfremde Zahl. Dann gibt es unendlich viele Primzahlen, die modulo ${}n$ den Rest ${}a$ haben.
3. Es sei ${}n=p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}$ die kanonische Primfaktorzerlegung der natürlichen Zahl ${}n$. Es sei ${}k$ eine positive natürliche Zahl und sei vorausgesetzt, dass nicht alle Exponenten ${}\alpha _{i}$ ein Vielfaches von ${}k$ sind. Dann ist die reelle Zahl

   $n^{\frac {1}{k}}$

   irrational.

Zur gelösten Aufgabe