Elementare und algebraische Zahlentheorie/Gemischte Satzabfrage/T1/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich und ${}a,b,c\in R$. Es seien ${}a$ und ${}b$ teilerfremd und ${}a$ teile das Produkt ${}bc$. Dann teilt ${}a$ den Faktor ${}c$.
2. Für eine Primzahl ${}p$ und eine beliebige ganze Zahl ${}a$ gilt

   $a^{p}\equiv a\mod p.$

3. Es gilt die asymptotische Abschätzung

   ${}\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}\,.$

   Das heißt

   ${}\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)\ln(x)}{x}}=1\,.$

Zur gelösten Aufgabe