Elfter Kreisteilungsring/Primitive Einheitswurzel + Inverses/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}Y=X+X^{-1}\,,$

${}Y^{2}={\left(X+X^{-1}\right)}^{2}=X^{2}+2+X^{-2}\,,$

${}Y^{3}={\left(X+X^{-1}\right)}^{3}=X^{3}+3X+3X^{-1}+X^{-3}\,,$

${}Y^{4}={\left(X+X^{-1}\right)}^{4}=X^{4}+4X^{2}+6+4X^{-2}+X^{-4}\,,$

${}Y^{5}={\left(X+X^{-1}\right)}^{5}=X^{5}+5X^{3}+10X+10X^{-1}+5X^{-3}+X^{-5}\,.$

Somit ist

${}{\begin{aligned}Y^{5}+Y^{4}-4Y^{3}-3Y^{2}+3Y+1&=X^{5}+X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1+X^{-1}+X^{-2}+X^{-3}+X^{-4}+X^{-5}\\&=0.\end{aligned}}$

Wegen

${}X^{2}-XY+1=0\,$

hat ${}R_{11}$ den Grad ${}2$ über ${}\mathbb {Z} [Y]$ und somit hat ${}\mathbb {Z} [Y]$ den Grad ${}5$, daher ist ${}Y^{5}+Y^{4}-4Y^{3}-3Y^{2}+3Y+1$ das Minimalpolynom. Wegen

${}Y{\left(Y^{4}+Y^{3}-4Y^{2}-3Y+3\right)}=-1\,$

ist ${}Y$ eine Einheit.

Zur gelösten Aufgabe