Ellipse/Gaußabbildung/Bijektiv/Aufgabe/Lösung

Als Einheitsnormalenfeld können wir vom Gradienten der beschreibenden Funktion, also von

${}G(x,y)={\begin{pmatrix}2\alpha x\\2\beta y\end{pmatrix}}\,$

ausgehen, durch Normalisierung erhalten wir

${}N(x,y)={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}\,.$

Die Gauß-Abbildung ist also

$\varphi \colon Y={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid \alpha x^{2}+\beta y^{2}=1\right\}}\longrightarrow S^{1},\,{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}.$

Die Surjektivität der Abbildung folgt aus

Fakt. Zum Nachweis der Injektivität betrachten wir die Bedingung

${}{\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}x^{2}+\beta ^{2}y^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {\alpha ^{2}z^{2}+\beta ^{2}w^{2}}}}{\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,.$

Das bedeutet, dass ${}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}$ linear abhängig sind mit einem positiven Faktor ${}c$ und dass ihre Normierungen gleich sind. Dann ist aber

${}{\begin{pmatrix}\alpha x\\\beta y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha z\\\beta w\end{pmatrix}}\,$

und daher ${}x=z$ und

${}y=w$.

Zur gelösten Aufgabe