Ellipse/Umfang/Ansatz und Integral/Beispiel

Wir betrachten eine Ellipse der Form

${}E={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1\right\}}\,$

mit ${}a,b>0$. Eine Umstellung liefert

${}y^{2}=b^{2}{\left(1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}\right)}\,.$

Der obere Bogen der Ellipse wird somit als Funktion in ${}x$ durch

${}{\begin{aligned}y(x)&=b{\sqrt {1-\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}}}\\&=b{\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}}{a^{2}}}}\\&={\frac {b}{a}}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\end{aligned}}$

beschrieben. Die Ableitung dieser Funktion ist

${}y'(x)=-{\frac {b}{a}}\cdot {\frac {x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\,.$

Die Bogenlänge des Graphen von ${}y$ von ${}0$ nach ${}z$ wird gemäß Fakt als Integral (von ${}0$ nach ${}z$) zur Funktion

${}{\begin{aligned}{\sqrt {1+y'^{2}}}&={\sqrt {1+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}+b^{2}x^{2}}{a^{2}{\left(a^{2}-x^{2}\right)}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}+{\frac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-x^{2}{\left(1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\right)}}{a^{2}-x^{2}}}}\\&={\sqrt {\frac {a^{2}-k^{2}x^{2}}{a^{2}-x^{2}}}}\end{aligned}}$

mit ${}k^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}$ berechnet. Mit der linearen Transformation ${}x=at$ kann man diesen Integranden auf die Form

${\sqrt {\frac {1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}}$

bringen (das Integral ist dann mit dem Faktor ${}a$ zu multiplizieren).