Elliptische Kurve/Affine kurze Weierstraßform/Reguläre Funktion/Mehrfache Darstellung/Beispiel

Zu einer elliptischen Kurve in affiner kurzer Weierstraßform

${}y^{2}=x^{3}+ax+b=(x-\lambda _{1})(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})\,$

besitzen die regulären Funktionen auf einer offenen Menge im Allgemeinen keine eindeutige Darstellung als Bruch. Die Kurvengleichung kann man beispielsweise direkt als

${}{\frac {y}{x-\lambda _{1}}}={\frac {(x-\lambda _{2})(x-\lambda _{3})}{y}}\,$

interpretieren, und dies ergibt eine reguläre Funktion auf ${}D(x-\lambda _{1},y)$. Diese Funktion ist allein im Punkt ${}(\lambda _{1},0)$ nicht definiert.