Elliptische Kurve/Allgemeines kubisches Polynom/Gruppenstruktur/Aufgabe

Es sei

${}Y^{2}=X^{3}+rX^{2}+sX+t\,$

die Gleichung einer elliptischen Kurve ${}E$. Zeige, dass die Addition auf ${}E$ im Sinne von Bemerkung durch

${}(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2},\,\alpha {\left(\alpha ^{2}-r-x_{1}-x_{2}\right)}+\beta \right)\,$

mit ${}\alpha ={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$ und ${}\beta =y_{1}-\alpha x_{1}$ gegeben ist.

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