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Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt/Beweis
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Elliptische Kurve/Fq/Zeta-Funktion/Funktionalgleichung/Fakt
Beweis
Dies ergibt sich aus
Fakt
durch die Umformungen
Z
(
E
;
1
q
t
)
=
1
+
(
N
1
−
q
−
1
)
1
q
t
+
q
(
1
q
t
)
2
(
1
−
1
q
t
)
(
1
−
q
1
q
t
)
=
(
q
t
)
2
+
(
N
1
−
q
−
1
)
q
t
+
q
(
q
t
−
1
)
(
q
t
−
q
)
=
q
(
1
+
(
N
1
−
q
−
1
)
t
+
q
t
2
)
q
(
1
−
t
)
(
1
−
q
t
)
=
1
+
(
N
1
−
q
−
1
)
t
+
q
t
2
(
1
−
t
)
(
1
−
q
t
)
=
Z
(
E
;
t
)
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}Z(E;{\frac {1}{qt}})&={\frac {1+(N_{1}-q-1){\frac {1}{qt}}+q\left({\frac {1}{qt}}\right)^{2}}{{\left(1-{\frac {1}{qt}}\right)}{\left(1-q{\frac {1}{qt}}\right)}}}\\&={\frac {{\left(qt\right)}^{2}+(N_{1}-q-1)qt+q}{{\left(qt-1\right)}{\left(qt-q\right)}}}\\&={\frac {q{\left(1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}\right)}}{q{\left(1-t\right)}{\left(1-qt\right)}}}\\&={\frac {1+(N_{1}-q-1)t+qt^{2}}{(1-t)(1-qt)}}\\&=Z(E;t).\end{aligned}}}
Zur bewiesenen Aussage
