Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Tangente/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

vorliegt. Die Tangente in einem Punkt ${}(x_{1},y_{1})$ ist durch die lineare Gleichung

${}(3x_{1}^{2}+a)(x-x_{1})-2y_{1}(y-y_{1})=0\,$

gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in ${}(x_{1},x_{2})$ einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach ${}y$ auflöst, so erhält man (bei ${}y_{1}\neq 0$)

${}{\begin{aligned}y&={\frac {{\left(3x_{1}^{2}+a\right)}x-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&={\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}x+{\frac {-3x_{1}^{3}-ax_{1}+2y_{1}^{2}}{2y_{1}}}\\&=\alpha x+\beta .\end{aligned}}$

Die Rechnungen aus Bemerkung führen auf

${}\alpha ^{2}=2x_{1}+x_{3}\,$

und damit

${}{\begin{aligned}x_{3}&=\alpha ^{2}-2x_{1}\\&=\left({\frac {3x_{1}^{2}+a}{2y_{1}}}\right)^{2}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}}{4y_{1}^{2}}}-2x_{1}\\&={\frac {9x_{1}^{4}+6ax_{1}^{2}+a^{2}-8x_{1}y_{1}^{2}}{4y_{1}^{2}}}\end{aligned}}$

und

${}y_{3}=\alpha x_{3}+\beta \,.$

Bei ${}y_{1}=0$ ist ${}x_{1}$ eine Nullstelle von ${}x^{3}+ax+b$ und die Tangente ist durch ${}x=x_{1}$ gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist ${}{\mathfrak {O}}$.