Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Tangente/Gruppenstruktur/Rechnungen/Bemerkung

Wir betrachten eine elliptische Kurve, die in der Form

vorliegt. Die Tangente in einem Punkt ist durch die lineare Gleichung

gegeben. Diese Gerade hat mit der Kurve in einen doppelten Schnittpunkt und es muss noch einen weiteren Schnittpunkt geben. Wenn man die Gleichung nach auflöst, so erhält man (bei )

Die Rechnungen aus Bemerkung führen auf

und damit

und

Bei ist eine Nullstelle von und die Tangente ist durch gegeben. Der dritte Schnittpunkt befindet sich im Projektiven und ist .