Elliptische Kurve/Kurze Weierstraßform/Verdoppelung/Fakt

Es sei ${}E$ eine elliptische Kurve über einem Körper ${}K$ mit kurzer Weierstraßgleichung ${}y^{2}=x^{3}+ax+b$.

Dann ist die Verdoppelung eines Punktes ${}(x,y)$ mit ${}y\neq 0$ durch die rationalen Ausdrücke

${}{\begin{aligned}2(x,y)&=\left(\alpha ^{2}-2x,\,-\alpha ^{3}+3x\alpha -y\right)\\&=\left({\frac {9x^{4}+6ax^{2}+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}}-2x,\,{\left(-{\frac {(3x^{2}+a)^{3}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}+{\frac {3x(3x^{2}+a)}{2(x^{3}+ax+b)}}-1\right)}y\right)\\&=\left({\frac {x^{4}-2ax^{2}-8bx+a^{2}}{4(x^{3}+ax+b)}},\,{\frac {x^{6}+5ax^{4}+20bx^{3}-5a^{2}x^{2}-4abx-a^{3}-8b^{2}}{8(x^{3}+ax+b)^{2}}}y\right)\end{aligned}}$

mit

${}\alpha ={\frac {3x^{2}+a}{2y}}\,$

gegeben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen