Elliptische Kurve/Produktform/Gesamtabbildung/Quadratrestgruppe/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Dies folgt aus Fakt.
2. Es sei ${}P\in E(K)$. Bei ${}P={\mathfrak {O}}$ sind beide Seiten der Aussage erfüllt. Es sei also ${}P=(x,y)$. Nach Fakt ist ${}P$ genau dann ein Verdoppelungspunkt auf der Kurve, wenn alle ${}x-\lambda _{i}$ Quadrate in ${}K$ sind. Dies ist bei ${}x\neq \lambda _{i}$ direkt die Behauptung. Bei ${}x=\lambda _{1}$ ist

   ${}\varphi ((\lambda _{1},0))=\left((\lambda _{1}-\lambda _{2})(\lambda _{1}-\lambda _{3}),\,\lambda _{1}-\lambda _{2},\,\lambda _{1}-\lambda _{3}\right)\,$

   und sowohl die Kernbedingung als auch die Halbierungsbedingung aus Fakt sind genau dann erfüllt, wenn ${}\lambda _{1}-\lambda _{2}$ und ${}\lambda _{1}-\lambda _{3}$ Quadrate sind.

3. Nach Fakt wird jedes Element des Bildes von einer endlich erzeugten Gruppe repräsentiert. Da ${}K^{\times }/{\left(K^{\times }\right)}^{2}$ eine Torsionsgruppe ist, ist das Bild endlich.

Zur bewiesenen Aussage