Elliptische Kurve/Q/Modularitätssatz/Satz von Wiles/Textabschnitt

Die Vermutung von Taniyama-Shimura, die selbst von ca. 1955 stammt, erfuhr um 1986 ein vertieftes Interesse, als sich eine Beziehung zur Vermutung von Fermat ergab. Diese besagt, dass es zu einem Exponenten ${}n\geq 3$ keine nichtriviale ganzzahlige Lösung ${}(a,b,c)$ der Gleichung

${}a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$

gibt. Für eine Vielzahl von Exponenten war dies zuvor mit unterschiedlichen Methoden, hauptsächlich aus der algebraischen Zahlentheorie, bewiesen worden, aber eben nicht für alle. Diese Vermutung wurde häufig als das bekannteste offene mathematische Problem genannt. Für ${}n=3$ geht es um die Frage, ob die elliptische Kurve ${}x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ganzzahlige Lösungen besitzt. Es wurde schon von Euler gezeigt, dass es solche Punkte nicht gibt. Die neue Entwicklung war nun, dass das Problem von Fermat für jeden Exponenten ${}n$ etwas mit einer elliptischen Kurve zu tun hat. Dazu geht man von einer potentiellen nichttrivialen ganzzahligen Lösung (deren Existenz man letztlich widerlegen möchte)

${}a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$

aus und betrachtet dazu die Weierstraß-Gleichung

${}y^{2}=x(x-a^{n})(x-b^{n})\,.$

Wegen der Nichttrivialität der Lösung liegt eine über ${}\mathbb {Q}$ definierte elliptische Kurve vor, die sogenannte Frey-Kurve (oder Frey-Hellegouarch-Kurve). Das ${}c$ kommt nicht explizit in der Gleichung vor, ist aber natürlich durch ${}a$ und ${}b$ jederzeit präsent. Frey äußerte die Vermutung, dass eine solche Kurve ein Gegenbeispiel zur Vermutung von Taniyama-Shimura sein könnte, bzw., dass wenn die Vermutung von Taniyama-Shimura stimmt, dass es dann eine solche Kurve nicht geben kann und dass damit der große Fermat gelten müsse. Diese Beziehung zwischen Taniyama-Shimura und großem Fermat wurde dann von Serre und Ribet bewiesen. Ab 1990 war also klar: Wenn man zeigen kann, dass jede elliptische Kurve über ${}\mathbb {Q}$ modular ist, dann folgt der Große Fermat. Mitte der Neunziger gelang es nun Wiles, zwar nicht die volle Vermutung von Taniyama-Shimura zu beweisen, aber immerhin für eine große Klasse von elliptischen Kurven, die die Frey-Kurven miteinschließen, nämlich für die sogenannten semistabilen elliptischen Kurven. Das sind diejenigen elliptischen Kurven, bei denen für keine Primzahl additive Reduktion auftritt. Auf diesem Weg ergibt sich.

Satz

Die diophantische Gleichung

${}a^{n}+b^{n}=c^{n}\,$

besitzt für kein ${}n\geq 3$ eine ganzzahlige nichttriviale Lösung.

Die volle Vermutung von Taniyama-Shimura wurde gegen 2000 aufbauend auf Wiles Arbeiten von Breuil, Conrad, Diamond, Taylor bewiesen.