Elliptische Kurve/Q/Y^2 ist X^3-X/Reelle Extrema/Endliche Erweiterung/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}y=f(x)={\sqrt {x^{3}-x}}\,,$

   für ${}x\in [-1,0]$ ist

   ${}x^{3}-x=x(x-1)(x+1)\,$

   nichtnegativ.

2. Der gesuchte Punkt ist das Maximum der Funktion

   ${}f(x)\,$

   auf ${}[-1,0]$. Zur Bestimmung dieses Extremum ziehen wir die Ableitung heran. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3x^{2}-1}{\sqrt {x^{3}-x}}}\,.$

   Die Nullstellenbedingung wird zu

   ${}x^{2}={\frac {1}{3}}\,,$

   wobei nur

   ${}x=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\,$

   im Intervall liegt. Der Wert an dieser Stelle ist

   ${}{\begin{aligned}y&={\sqrt {-\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)^{3}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {-1+3}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\sqrt {\frac {2}{3{\sqrt {3}}}}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}.\end{aligned}}$

   Es ist also

   ${}P=\left(-{\frac {1}{\sqrt {3}}},\,{\frac {\sqrt {2}}{{\sqrt {3}}{\sqrt[{4}]{3}}}}\right)\,.$

3. Der Punkt ${}P$ liegt in der endlichen Körpererweiterung

   ${}K=\mathbb {Q} [{\sqrt {2}},{\sqrt[{4}]{3}}]\,$

   (vom Grad ${}8$ über ${}\mathbb {Q}$).

Zur gelösten Aufgabe