Elliptische Kurve/Weierstraßform/Bemerkung

In Charakteristik ${}\neq 2,3$ lässt sich eine elliptische Kurve durch eine Weierstraßgleichung der Form

${}y^{2}=x^{3}+ax+b\,$

in inhomogener bzw.

${}y^{2}z=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}\,$

in homogener Form beschreiben. Dabei ist

${}-4a^{3}-27b^{2}\neq 0\,$

die Bedingung für die Glattheit. Bei ${}b\neq 0$ sind ${}(x,y)$ Parameter und ${}(y,z)$ sind stets Parameter im Kegel, ${}(x,z)$ dagegen nicht. Das Bündel ${}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},y^{2},z^{2}\right)}(3)$ besitzt durch ${}(x,-z,ax+bz)$ einen nichttrivalen Schnitt, der allerdings eine Nullstelle im Punkt ${}(0,1,0)$ hat.

Wir ersetzen ${}y$ durch ${}w+cz$, wir arbeiten also mit der neuen Variablen ${}w$, die anderen Variablen bleiben gleich. Dann erhält man die neue Kurvengleichung

${}{\begin{aligned}x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zy^{2}&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-z(w+cz)^{2}\\&=x^{3}+axz^{2}+bz^{3}-zw^{2}-2cwz^{2}-c^{2}z^{3}\\&=x^{3}-zw^{2}+z^{2}{\left({\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax\right)}.\end{aligned}}$

Wir wählen ${}c\neq 0$. Dann ist jedenfalls das Tupel ${}(x,-z,{\left(b-c^{2}\right)}z-2cw+ax)$ nullstellenfrei und wir haben einen nullstellenfreien Schnitt von ${}\operatorname {Syz} {\left(x^{2},w^{2},z^{2}\right)}(3)$, d.h. dies ist eine Realisierung von ${}F_{2}$ als Syzygienbündel. Dabei sind ${}(z,w)$ Parameter und bei

${}b-c^{2}\neq 0\,$

auch ${}(x,w)$ Parameter. Letzteres kann man unter der Charakteristikbedingung stets erreichen.