Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+1/Reduktionsverhalten/Beispiel

Wir betrachten die elliptische Kurve ${}E$, die durch die affine Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}+1\,$

gegeben ist. Die partiellen Ableitungen sind

$2Y\,\,{\text{ und }}\,\,3X^{2}.$

Bei ${}p\neq 2,3$ verschwinden die beiden partiellen Ableitungen nur im Punkt ${}(0,0)$, doch dies ist kein Punkt der Kurve. Für ${}p\geq 5$ ist die Kurve ${}E_{p}$ also glatt und es liegt gute Reduktion vor. Bei ${}p=2$ liegt in ${}(0,1)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten ${}(X,Y-1)$ wird das beschreibende Polynom zu ${}(Y-1)^{2}-X^{3}$. Das ist eine Neilsche Parabel und es liegt eine Kuspe, also additive Reduktion vor. Bei ${}p=3$ liegt in ${}(-1,0)$ ein singulärer Punkt der Kurve vor. In den lokalen Koordinaten ${}(X+1,Y)$ wird das beschreibende Polynom zu ${}Y^{2}-(X+1)^{3}$. Das ist wieder eine Neilsche Parabel und es liegt wieder additive Reduktion vor.