Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3+3X-4/Verschiedene Eigenschaften/Aufgabe/Lösung


  1. Es gilt

    über jedem Körper. In Charakteristik ist

    Deshalb ist über und über auch der quadratische Faktor irreduzibel.

  2. Die Kurve schneidet die -Achse einmalig bei und der obere Strang ist streng wachsend, wegen

    und der Monotonie der Quadratwurzel.

  3. Über besitzt das quadratische Polynom die beiden Nullstellen . Somit liegt die Zerlegung

    vor.

  4. Die partiellen Ableitungen sind und . In Charakteristik ist ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik . Dann muss für einen singulären Punkt sein. Es geht also darum, ob und eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ist wegen

    der Punkt ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik . In gilt (die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der Diskriminante vereinfachen)

    und

    und schließlich

    Wenn die Charakteristik ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.

    In Charakteristik ist

    und somit die Kurvengleichung gleich

    es liegt also ein singulärer Punkt in vor.

  5. Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also additive Reduktion vor.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also additive Reduktion vor.

    Im Punkt wird die Kurvengleichung mit

    zu

    es liegt also spaltende multiplikative Reduktion vor.