- Es gilt
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über jedem Körper. In Charakteristik ist
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Deshalb ist über und über auch der quadratische Faktor irreduzibel.
- Die Kurve schneidet die -Achse einmalig bei
und der obere Strang ist streng wachsend, wegen
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und der Monotonie der Quadratwurzel.
- Über besitzt das quadratische Polynom die beiden Nullstellen . Somit liegt die Zerlegung
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vor.
- Die partiellen Ableitungen sind und . In Charakteristik ist ein Punkt der Kurve, in dem die partiellen Ableitungen verschwinden. Es liegt also schlechte Reduktion vor. Es sei nun die Charakteristik . Dann muss für einen singulären Punkt
sein. Es geht also darum, ob und eine gemeinsame Nullstelle besitzen. In Charakteristik ist wegen
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der Punkt ein singulärer Punkt. Es sei nun die Charakteristik . In gilt
(die folgende Argumentation kann man durch die Betrachtung der
Diskriminante
vereinfachen)
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und
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und schließlich
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Wenn die Charakteristik ist, so liegt eine glatte Kurve vor, da dann die beiden Polynome das Einheitsideal erzeugen und keine gemeinsame Nullstelle haben können.
In Charakteristik ist
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und somit die Kurvengleichung gleich
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es liegt also ein singulärer Punkt in vor.
- Wir bestimmen den Reuktionstyp in den Singularitäten bei schlechter Reduktion.
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Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
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zu
es liegt also
additive Reduktion
vor.
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Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
-
zu
es liegt also additive Reduktion vor.
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Im Punkt wird die Kurvengleichung mit
-
zu
es liegt also spaltende
multiplikative Reduktion
vor.