Elliptische Kurve/Y^2 ist X^3-2X/Reduktionsverhalten/Aufgabe/Lösung

Es ist

${}Y^{2}=X^{3}-2X=X(X^{2}-2)\,.$

Bei ${}p=2$ erhält man direkt ${}Y^{2}=X^{3}$ und man hat additive Reduktion. Sei ${}p\geq 3$. Die partiellen Ableitungen sind ${}2Y$ und ${}3X^{2}+2$. Eine Singularität kann nur bei ${}Y=0$ vorliegen. Dazu gehört der Punkt ${}(0,0)$, der wegen der zweiten Ableitung glatt ist, und Punkte ${}(x,0)$ mit ${}x^{2}=2$. Damit dies ein singulärer Punkt ist, muss

${}3x^{2}+2=8=0\,$

sein, was bei ${}p\geq 3$ nicht möglich ist. Für ${}p\geq 3$

liegt also gute Reduktion vor.

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