Elliptische Kurve/Y^2 ist X(X-n)(X+n)/Charakteristik/Glatt/Beispiel

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Wir betrachten die Gleichung

${}Y^{2}=X^{3}-n^{2}X=X(X-n)(X+n)\,$

über einem Körper ${}K$, wobei die Charakteristik ${}p$ kein Teiler von ${}2n$ sei. Dann liegt eine glatte kubische Kurve vor. Die partiellen Ableitungen sind ${}3X^{2}-n^{2}$ und ${}2Y$. Ein singulärer Punkt könnte allenfalls in ${}y=0$ und somit bei ${}x=0,n,-n$ vorliegen, doch ist da ${}3x^{2}-n^{2}\neq 0$.