Endlich erzeugte K-Algebren/K-Spektrum/Isomorph zu Einbettung/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}R$ eine endlich erzeugte kommutative ${}K$-Algebra mit ${}K$-Spektrum ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$. Es sei ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}$ eine Restklassendarstellung von ${}R$ mit dem zugehörigen Restklassenhomomorphismus

$\varphi \colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow R$

und dem Nullstellengebilde ${}V({\mathfrak {a}})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$.

Dann stiftet die Abbildung

$K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}\longrightarrow {{\mathbb {A} }_{K}^{n}},\,P\longmapsto P\circ \varphi$

eine Bijektion zwischen ${}K\!\!-\!\operatorname {Spek} \,{\left(R\right)}$ und ${}V({\mathfrak {a}})$, die bezüglich der Zariski-Topologie ein Homöomorphismus ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen