Endlich erzeugte kommutative Algebren/Rationaler Funktionenkörper ist nicht endlich erzeugt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei angenommen, dass die rationalen Funktionen ${}F_{i}={\frac {P_{i}}{Q_{i}}}$, ${}i=1,\ldots ,n$, ein endliches Erzeugendensystem von ${}K(X)$ bilden, mit ${}P_{i},Q_{i}\in K[X]$, ${}Q_{i}\neq 0$. Durch Übergang zu einem Hauptnenner kann man annehmen, dass die Nenner ${}Q_{i}=Q$ gleich sind. Die Annahme bedeutet also insbesondere, dass der Körper der rationalen Funktionen sich durch Nenneraufnahme an nur einem Element ergeben würde. Da ${}Q$ keine Konstante ist (sonst wäre ${}K[X]=K(X)$, was nicht der Fall ist), ist ${}Q-1\neq 0$ und daher ist ${}{\frac {1}{Q-1}}\in K(X)$. Also gibt es eine Darstellung

${}{\frac {1}{Q-1}}={\frac {P}{Q^{s}}}\,$

mit einem geeigneten ${}s$. Daraus folgt ${}Q^{s}=(Q-1)P$. Da ${}Q^{s}$ und ${}Q-1$ das Einheitsideal in ${}K[X]$ erzeugen, folgt daraus, dass bereits ${}Q-1$ das Einheitsideal erzeugt, also selbst eine Einheit ist. Dann wäre ${}Q$ aber doch eine Konstante, was es nicht ist.

Zur bewiesenen Aussage