Endlichdimensionaler Vektorraum/Äquivalenzrelation durch lineare Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V\neq 0$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum.

1. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}R$, die durch ${}uRv$ gegeben ist, falls es eine lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Welche Eigenschaften einer Äquivalenzrelation sind erfüllt, welche nicht?
2. Wir betrachten auf ${}V$ die Relation ${}S$, die durch ${}uSv$ gegeben ist, falls es eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ mit ${}\varphi (u)=v$ gibt. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
3. Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation ${}S$ aus (2).

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