Endlichdimensionaler Vektorraum/Zugehöriger Polynomring/Kontravariant/Bemerkung

Jedes Element in ${}K[V]$ besitzt eine Darstellung der Form

$\sum _{\nu }a_{\nu }f_{\nu }$

(mit endlicher Indexmenge), wobei ${}a_{\nu }\in K$ und ${}f_{\nu }$ ein formales Produkt aus Linearformen ist. In einem solchen Produkt sind wegen der geforderten Kommutativität die Faktoren vertauschbar. Da lineare Relationen zwischen den Linearformen respektiert werden müssen, folgt aus einer Gleichung

${}g=b_{1}g_{1}+\cdots +b_{\ell }g_{\ell }\,$

für Linearformen ${}g,g_{1},\ldots ,g_{\ell }$ die Gleichung

${}gf_{2}\cdots f_{m}=\sum _{j=1}^{\ell }b_{j}g_{j}f_{2}\cdots f_{m}\,.$

Wenn ${}V$ ${}n$-dimensional ist und ${}f_{1},\ldots ,f_{n}$ eine Basis von ${}{V}^{*}$ ist, so lässt sich daher jedes Element aus ${}K[V]$ als Polynom in den ${}f_{i}$ schreiben. Diese Darstellung ist auch eindeutig, da es in ${}K[V]$ nur Relationen gibt, die von einer linearen Relation herrühren, es solche aber in einer Basis nicht gibt. D.h. es gibt einen ${}K$-Algebraisomorphismus

$K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K[V],\,X_{i}\longmapsto f_{i}.$