Endliche Galoiserweiterung/Charakterisierung/Fakt

Charakterisierung von Galoiserweiterungen

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung und sei ${}G=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ die Galoisgruppe. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist eine Galoiserweiterung.
2. Es ist ${}\operatorname {Fix} \,(G)=K$.
3. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq L$ ist normal und separabel.
4. ${}L$ ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms ${}F\in K[X]$.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen