Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Galois über Grundkörper/Normale Untergruppe/Fakt

Satz über Normalteiler in der Galoisgruppe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine endliche Galoiserweiterung und ${}M$, ${}K\subseteq M\subseteq L$, ein Zwischenkörper. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Die Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ ist genau dann eine Galoiserweiterung, wenn die Untergruppe ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\subseteq \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ ein Normalteiler ist.
2. Sei ${}K\subseteq M$ eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung

   ${}\operatorname {Gal} \,(M{|}K)=\operatorname {Gal} \,(L{|}K)/\operatorname {Gal} \,(L{|}M)\,.$

   Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ auf ${}M$ eingeschränkt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen