Endliche Galoiserweiterung/Zwischenkörper/Konjugierter Körper und konjugierte Galoisgruppe/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}\varphi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}M')$. Wir schreiben ${}\varphi =\psi {\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}\psi ^{-1}$ und müssen zeigen, dass ${}\psi ^{-1}\varphi \psi$ zu ${}\operatorname {Gal} \,(L{|}M)$ gehört. Es sei dazu ${}x\in M$. Dann ist ${}{\left(\psi ^{-1}\varphi \psi \right)}(x)=\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))$. Dabei gehört ${}\psi (x)\in M'$ und somit ist ${}\varphi (\psi (x))=\psi (x)$. Also ist

${}\psi ^{-1}(\varphi (\psi (x)))=\psi ^{-1}(\psi (x))=x\,.$

Die umgekehrte Inklusion ergibt sich genauso bzw. folgt direkt daraus, dass beide Gruppen die gleiche Anzahl besitzen.

Zur bewiesenen Aussage