Endliche Gruppe/Lineare Operation/Invariantendimension über Spur/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum, auf dem eine endliche Gruppe ${}G$ linear und treu operiere. Die Gruppenordnung sei kein Vielfaches der Charakteristik von ${}K$.

Dann besitzt der Fixraum der Operation (also der gemeinsame Eigenraum zum Eigenwert ${}1$) die Dimension

${}\dim _{K}{\left(V^{G}\right)}={\frac {1}{\operatorname {ord} {\left(G\right)}}}\sum _{\sigma \in G}\operatorname {Spur} {\left(\sigma \right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen