Endliche Körper/F125/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Das Polynom ${}X^{3}+X+1\in \mathbb {Z} /(5)[X]$ ist irreduzibel, da es Grad ${}3$ hat und in ${}\mathbb {Z} /(5)$ keine Nullstelle besitzt. Daher ist

$L=\mathbb {Z} /(5)[X]/(X^{3}+X+1)$

ein Körper mit ${}125$ Elementen, und die Restklassen von ${}1,X,X^{2}$ (die wir mit $1,x,x^{2}$ bezeichnen) bilden eine ${}\mathbb {Z} /(5)$-Basis von ${}L$. Wir beschreiben den Frobenius bezüglich dieser Basis unter Verwendung von ${}x^{3}=-x-1$. Es ist

$1^{5}=1,$

${}x^{5}=x^{2}(-x-1)=-x^{3}-x^{2}=-x^{2}+x+1=4x^{2}+x+1\,$

und

${}{\begin{aligned}(x^{2})^{5}&=x^{10}\\&=(-x^{2}+x+1)^{2}\\&=x^{4}+x^{2}+1-2x^{3}-2x^{2}+2x\\&=x(-x-1)-2(-x-1)-x^{2}+2x+1\\&=-x^{2}-x+2x+2-x^{2}+2x+1\\&=-2x^{2}+3x+3\\&=3x^{2}+3x+3.\end{aligned}}$

In den Spalten der beschreibenden Matrix stehen die Koeffizienten der Bildvektoren bezüglich der Basis, also ist die Matrix gleich

${\begin{pmatrix}1&1&3\\0&1&3\\0&4&3\end{pmatrix}}.$

Zur gelösten Aufgabe