Endliche Körper/F49/Frobenius/Matrix/Aufgabe/Lösung

Wegen ${}1^{2}=(-1)^{2}=1$, ${}2^{2}=(-2)^{2}=4$ und ${}3^{2}=(-3)^{2}=2$ in ${}{\mathbb {F} }_{7}=\mathbb {Z} /(7)$ besitzt das Polynom ${}X^{2}+1$ keine Nullstelle in ${}{\mathbb {F} }_{7}$. Daher ist dieses Polynom irreduzibel und

${}{\mathbb {F} }_{49}={\mathbb {F} }_{7}[X]/(X^{2}+1)\,$

ist eine Darstellung des Körpers mit ${}49$ Elementen. Eine Basis über ${}{\mathbb {F} }_{7}$ wird durch ${}1$ und ${}x$ gegeben, wobei ${}x$ die Restklasse von ${}X$ bezeichne. Unter dem Frobeniushomomorphismus ist

$\Phi (1)=1^{7}=1\,\,{\text{ und }}\,\,\Phi (x)=x^{7}=(x^{2})^{3}x=-x=6x.$

Bezüglich dieser Basis hat die beschreibende Matrix die Gestalt

${\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}}.$

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