Endliche Körper/Produkt aller Einheiten/Fakt/Beweis

Beweis

Die Gleichung ${}x^{2}=1$ hat in einem Körper nur die Lösungen ${}1$ und ${}-1$, die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für ${}x\neq 1,-1$ immer ${}x\neq x^{-1}$ ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

$1(-1)x_{1}x_{1}^{-1}\cdots x_{k}x_{k}^{-1}$

schreiben. Ist ${}-1\neq 1$, so ist das Produkt ${}-1$. Ist hingegen ${}-1=1$, so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist ${}1=-1$.

Zur bewiesenen Aussage