Endliche Körper/Sukzessive quadratische Erweiterung/Beschreibung/Aufgabe/Lösung

1. Wenn ${}c\in {\mathbb {F} }_{q}$ ein Nichtquadrat ist, so besitzt das Polynom ${}X^{2}-c$ keine Nullstelle und ist daher irreduzibel. Nach Fakt ist somit ${}{\mathbb {F} }_{q}[X]/(X^{2}-c)$ ein Körper mit ${}q^{2}$ Elementen, also ein Modell des eindeutig bestimmten Körpers ${}{\mathbb {F} }_{q^{2}}$.
2. Dies folgt unmittelbar aus Teil (1), da es in jedem endlichen Körper ungerader Charakteristik Nichtquadrate gibt und somit die sukzessiven quadratischen Erweiterungen durch die Aufnahme einer Quadratwurzel beschrieben werden kann.
3. In ${}\mathbb {Z} /(3)[X]{\left(X^{2}-2\right)}$ ist

   ${}(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4=x^{2}+x+1=2+x+1=x\,.$

4. Nehmen wir an, dass ${}x$ ein Quadrat ist. Jedes Element in ${}{\mathbb {F} }_{q}[X]/{\left(X^{2}-c)\right)}$ besitzt eine eindeutige Darstellung der Form ${}ax+b$ mit ${}a,b\in {\mathbb {F} }_{q}$. Also wäre

   ${}x=(ax+b)^{2}=a^{2}x^{2}+2abx+b^{2}=2abx+a^{2}c+b^{2}\,.$

   Somit ist ${}2ab=0$ und ${}a,b$ sind Einheiten. Aus ${}a^{2}c+b^{2}=0$ folgt

   ${}c=-{\left({\frac {b}{a}}\right)}^{2}\,.$

   Da bei ${}p=1\mod 4$ die ${}-1$ ein Quadrat ist, wäre also ${}c$ ein Quadrat im Widerspruch zur Voraussetzung.

5. Wir beweisen die Aussage, dass

   ${\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a)$

   ein Körper und dass darin die Restklasse von ${}Y$ kein Quadrat ist, durch Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ergibt sich die Aussage aus Teil (1) und (4). Es sei die Aussage nun für ein ${}n$ bewiesen. Es ist

   ${}{\mathbb {F} }_{p^{2^{n}}}\cong {\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a)\,$

   und, da ${}y$ kein Quadrat darin ist, ist

   ${}({\mathbb {F} }_{p}[Y]/(Y^{2^{n}}-a))[Z]/{\left(Z^{2}-y\right)}={\mathbb {F} }_{{\left(p^{2^{n}}\right)}^{2}}={\mathbb {F} }_{p^{2^{n+1}}}\,$

   ein Körper mit ${}p^{2^{n+1}}$ Elementen. Wir betrachten den Restklassenring

   ${\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}.$

   Durch

   ${\mathbb {F} }_{p}[Y]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)},\,Y\longmapsto W^{2},$

   ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

   ${\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$

   induziert. Dieser ist injektiv, da links ein Körper steht. Durch

   ${\left({\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\right)}[Z]\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)},\,Z\longmapsto W,$

   ist ein Einsetzungshomomorphismus gegeben, der den Homomorphismus

   ${\left({\mathbb {F} }_{p}[Y]/{\left(Y^{2^{n}}-a\right)}\right)}[Z]/{\left(Z^{2}-y\right)}\longrightarrow {\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$

   induziert. Dieser ist surjektiv, da ${}W$ im Bild ist und injektiv, da links ein Körper steht. Also ist ${}{\mathbb {F} }_{p}[W]/{\left(W^{2^{n+1}}-a\right)}$ ein Körper. Da die Restklasse von ${}W$ dabei ${}Z$ entspricht, ist sie kein Quadrat nach Teil (4).

Zur gelösten Aufgabe